Además de las cargas gravitatorias, los edificios están sometidos a acciones horizontales debidas, fundamentalmente, al viento o al sismo. Existen diferentes sistemas estructurales específicos para resistir estas fuerzas, fundamentalmente con muros o triangulaciones, pero tienen una repercusión arquitectónica importante y, no siempre son necesarios, muchas veces son suficientes los pórticos o marcos específicamente diseñados para ello. Y en eso estaban los compañeros de principios del siglo XX en Chicago y New York. Volvamos allí:
Estamos en marzo de 1915. Ya existía el acero y el hormigón armado, pero mientras en el resto del mundo la arquitectura estaba buscando su camino, en New York y Chicago las grandes empresas competían por hacer rascacielos más y más altos. El cálculo a viento cobraba importancia y los arriostramientos con diagonales o muros de cortante resultaban molestos. En ese contexto surgen diferentes métodos para el cálculo de pórticos sin arriostramientos. A. Smith y W.M. Wilson publican un artículo en el que comparan diferentes métodos aproximados con cálculos más precisos realizados con una calculadora analógica, la Millionaire… Veámosla en acción, considerando que estamos aún muchas décadas antes de los ordenadores o las calculadoras electrónicas.
Vídeo: The Millionaire Machine – Numberphile
Con esa lenta y pesada máquina se podía calcular mucho más rápido que a mano, pero aún así resolver sistemas de ecuaciones se hacía eterno, así que eran necesarios métodos más sencillos, y eso es lo que proponen.
En la revista Journal of the Western Society of Engineers podemos ver el doble artículo completo. Decimos doble porque hay una primera parte de Smith y una segunda parte de Wilson. Y lo mejor viene después: el debate, a partir de la página 380.
En las réplicas vemos expresiones de admiración y agradecimiento a los autores por un trabajo colosal, pero también interesantes matices técnicos, referencias a métodos anteriores e incluso algún comentario que, si se me permite la exageración, apunta que no hace falta complicarse tanto para treinta plantas de nada.
A continuación planteamos un resumen del método, apoyándonos además en el capítulo 15.3.1 Método del pórtico del libro de J. Calavera Proyecto y cálculo de estructura de hormigón, editado por Intemac en 2008. La referencia 15.2 del libro fue el punto de partida que condujo al texto original de Smith.
Planteamiento
El método se basa en tres hipótesis:
- Las fuerzas horizontales actúan en cada planta.
- Los momentos flectores son nulos en medio de las columnas y en medio de las vigas
- Los cortantes se reparten de modo que todas las columnas interiores tienen el mismo cortante y las columnas de los extremos tienen la mitad.
Planteamos entonces el siguiente modelo.
El cálculo simplificado consiste en suponer articulaciones en los puntos de momento nulo, señalados con un punto rojo.
Aislamos la planta superior. La hipótesis b) nos da las reacciones horizontales: si m es el número de vanos, la reacción en cada columna central R4 vale
R4=F4/m
En las columnas exteriores vale la mitad.
A partir de aquí, podemos aislar cada tramo y, por equilibrio, calcular los cortantes en vigas y axiles en columnas. Por ejemplo, para el primer tramo:
Tomando momentos respecto al punto A, tenemos que
V4,1=(R4/2)×(h4/2)/(L1/2)
y
N4,1=V4,1
Este procedimiento resulta bastante laborioso. No obstante, también podemos hacerlo de manera más sencilla. El diagrama de momentos flectores en las columnas es
M4,1=M4,5=(R4/2)×(h4/2)
M4,2=M4,3=M4,4=(R4)×(h4/2)
El momento en las columnas centrales es doble que en las exteriores.
El flector del extremo exterior de la viga es idéntico al de la columna. Como el punto central de la viga tiene momento nulo, en el extremo interior de la viga el momento tiene el mismo valor, que a su vez es mitad del momento de la columna central.
Observamos que el momento es igual en todas las vigas.
Conocido el momento, el cortante se calcula con la fórmula habitual del cortante hiperestático: (Mi+Md)/L
Para el primer tramo, dado que Mi=Md=M4,1
V1=2×M4,1/L1
A continuación repetimos la operación con la siguiente planta.
donde
R3=(F4+F3)/m
Ejemplo
Calculamos el pórtico de la siguiente figura:
Aislamos la planta superior. El pórtico tiene 4 vanos, por lo tanto m=4
R4=F4/m=16/4=4 kN
El momento flector en las columnas es
- Columnas exteriores: M=2×2,00=4 m·kN
- Columnas interiores: M=4×2,00=8 m·kN
Podemos entonces trazar igualmente los momentos en las vigas:
El cortante en las vigas es igual en todas ellas, ya que las luces son iguales.
V=2×4/8,00=1 kN
Repetimos el proceso para la planta inferior.
R3=(F4+F3)/m=(16+32)/4=12 kN
El momento de las columnas inferiores es considerablemente mayor, porque los cortantes se triplican: por una parte la fuerza horizontal en esta planta es doble que en la superior (F3=2×F4); por otra parte, también actúa la fuerza superior, es decir, las columnas inferiores tienen que resistir F3+F4
En los extremos exteriores de vigas el momento es M=12+4=16 m·kN.
En los extremos interiores es M=(24+8)/2=16 m·kN.
El cortante en las vigas es:
V=2×16/8,00=4 kN
El proceso se repite para cada planta. Lo sintetizamos en una hoja de cálculo.
Vemos que en la base las columnas interiores alcanzan un momento flector de 56 m·kN y las vigas de planta baja llegan a 48 m·kN
Objeciones al método
En primer lugar, el método no ofrece valores adecuados de los axiales en columnas. De hecho, con luces iguales los cortantes de vigas se equilibran y las columnas interiores no tienen axial. No obstante, este problema no suele ser crítico porque los valores debidos a carga muerta y carga viva son muy superiores.
En segundo lugar, el hecho de que todos los momentos de vigas salgan iguales no se corresponde del todo con la realidad, aunque con luces similares no es tampoco dramático.
En tercer lugar, el reparto de cortantes en columnas igualando las interiores y asignando la mitad a las exteriores es bastante simple, dicho reparto depende de la sección de las propias columnas. Nuevamente puede ser asumible suponiendo columnas similares y considerando que las columnas exteriores, por recibir la mitad de carga vertical, tenga menor sección.
El mayor inconveniente de este método es que cuando las columnas son más rígidas que las vigas –y esto ocurre siempre en estructuras sismorresistentes- no se cumple la hipótesis de que el punto de momento nulo esté en el medio de las columnas, especialmente en las inferiores. Dependiendo de la rigidez relativa de las columnas y las vigas, puede estar más arriba o incluso no estar en la propia columna.
En la obra ejemplo, con grandes luces que exigen vigas importantes y sin consideraciones sísmicas que obliguen a colocar columnas de igual rigidez, las premisas se cumplen y los valores salen muy similares a los previstos.
Aumentando la sección de las columnas, el punto de momento nulo en planta baja sube. El momento máximo en la base de las columnas aumenta y el momento en las vigas disminuye.
Esto ha suscitado algunas correcciones en el método, desde considerar el punto de momento nulo más alto en la planta baja ya de partida hasta aplicar coeficientes correctores, porque en edificios altos con columnas muy rígidas –especialmente en las plantas inferiores- la diferencia puede ser importante.
La figura muestra un edificio analizado con diferentes secciones de columnas, menores en la obra de la izquierda y mayores en la obra de la derecha.
En los ejemplos anteriores las vigas estaban dimensionadas con criterios únicamente de resistencia gravitatoria, es decir, no se había aumentado la rigidez de las vigas, especialmente en las plantas inferiores, para mejorar el comportamiento de pórtico. Aumentando la rigidez de las vigas el momento en columnas disminuye drásticamente.
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